REALIZADO POR:
Ortega Silvestre Viviana
Silva Victoriano Yuriliana
DISTRIBUCIÓN
NORMAL
La distribución normal N (µ ᶱ) es
un modelo matemático que rige muchos fenómenos. La experiencia demuestra que
las distribuciones de la mayoría de las muestras tomadas en el campo de la
industria se aproximan a la distribución normal si el tamaño de la muestra es
grande. Esta distribución queda definida por dos parámetros: la media µ y la
desviación típica ᶱ. Se presenta mediante una curva simétrica conocida
como campana de Gauss. Esta
distribución nos da la probabilidad de que al elegir un valor, éste tenga una
medida contenida en unos intervalos definidos. Esto permitirá predecir de forma
aproximada, el comportamiento futuro de un proceso, conociendo los datos del
presente.
CURVA DE LA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
- El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).
- Es simétrica respecto a la media µ.
- Tiene un máximo en la media µ.
- Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
- En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
- El eje de abscisas es una asíntota de la curva
El área del recinto determinado por la función
y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa
por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5
a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la
curva.
p (μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %
p (μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %
p (μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
BIBLIOGRAFÍA
DISTRIBUCIÓN JI
CUADRADA
La distribución ji cuadrada es una de las
distribuciones de probabilidad más ampliamente utilizada en la estadística
inferencial.
Sea n un entero positivo. Se dice entonces que una
variable aleatoria X tiene una distribución ji cuadrada con parámetro n si la
función de densidad de probabilidad de X es la densidad gama con a = n/2 y b=2.
Su utilidad reside en que, bajo algunos supuestos
razonables y poco exigentes, existen variables que al calcularse pueden dar
lugar a una distribución aproximada a la ji cuadrada.
La distribución ji-cuadrado tiene muchas
aplicaciones en inferencia estadística, por ejemplo en el test ji-cuadrado y en
la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar
la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar
la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la
distribución t, y participa en todos los problemas de análisis de varianza, por
su papel en la distribución F , que es la distribución del cociente de dos
variables aleatorias de distribución ji-cuadrada e independientes.
Las situaciones mejor conocidas de uso de esta
distribución están en la común prueba ji cuadrada de bondad de ajuste de una
distribución observada a una distribución teórica, y la de independencia de dos
criterios de clasificación de datos cualitativos.
La distribución ji cuadrada está asociada a un
parámetro conocido como grado de libertad. La forma de la distribución depende
del valor de este parámetro.
Características de la distribución ji-cuadrada
Las características principales de la distribución ji-cuadrada
son:
- Tiene sesgo positivo.
- Es no negativa.
- Se basa en grados de libertad.
Cuando los grados de libertad cambian, una nueva distribución se crea
Ejemplo 1
La información siguiente muestra el número de
empleados ausentes por día de la semana en una fábrica grande. ¿En un nivel de
significancia del .05, hay una diferencia en ausentismo por día de la semana?
Suponga la frecuencia esperada igual:
(120 + 45 + 60 + 90 + 130) / 5 = 89
Los grados de libertad son (5-1)=4.
El valor crítico es 9.488. Utilice el Apéndice I.
Debido a que el valor calculado de ji-cuadrada es
mayor que el valor crítico, se rechaza H0. Concluimos que hay una diferencia en el número de
trabajadores ausentes por día de la semana.
BIBLIOGRAFÍA
Distribución T de Student
Historia
Las distribuciones t de Student fueron
descubiertas por William S. Gosset (1876-1937) en 1908 cuando trabajaba para la
compañía de cervezas Guinness en Dublín (Irlanda). Gosset firmó sus
publicaciones usando el nombre de "Student". Esta salió de la
necesidad de tener una distribución que pudiera usar cuando el tamaño de la
muestra fuera pequeño y la varianza desconocida y tenía que ser estimada a
partir de los datos. Las distribuciones t se usan para tener en cuenta la
incertidumbre añadida que resulta por esta estimación.
Concepto
La distribución t de Student se construye
como un cociente entre una normal y la raíz de una Ji-cuadrado independientes.
Esta distribución desempeña un papel importante en la inferencia estadística
asociada a la teoría de muestras pequeñas. Se usa habitualmente en el contraste
de hipótesis para la media de una población, o para comparar las medias de dos
poblaciones, y viene definida por sus grados de libertad n.
A medida que aumentan los grados de libertad,
la distribución t de Student se aproxima a una normal de media 0 y varianza 1
(normal estándar).
Campo
de variación
|
Parámetros
|
-∞
< x < ∞
|
n:
grados de libertad, n>0
|
Formula
La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t no es igual a 1 como en la de Z, sino que depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.
Otra diferencia con la distribución normal,
es que la forma de distribución t de student depende de un parámetro llamado el
número de grados de libertad.
El número de grados de libertad es igual al
tamaño de la muestra (número de observaciones independientes) menos 1.
gl = df= n – 1
Propiedades
La distribución t de student tiene las
siguientes propiedades:
- La media de la distribución es igual a 0
- La varianza es igual a donde df (se usa también ν) es el número de grados de libertad
- La varianza es siempre mayor que 1, aunque es muy cercana a 1 cuando se tiene un número de grados de libertad grande.
- Con infinitos grados de libertad la distribución t es igual a la normal.
Condiciones
- La distribución t de student se puede usar cuando cualquiera de las siguientes condiciones se cumplen:
- La distribución de la población es normal.
- La distribución de la muestra es simétrica, unimodal, sin puntos dispersos y alejados (outliers) y el tamaño de la muestra es de 15 o menos.
- La distribución de la muestra es moderadamente asimétrica, unimodal, sin puntos dispersos (outliers) y el tamaño de la muestra está entre 16 y 30.
- El tamaño de la muestra es mayor de 30, sin puntos dispersos (aunque en este caso también se puede usar la distribución normal).
Ejemplo
La compañía USALUZ produce focos. El
presidente de la Cía. dice que sus focos duran 300 días. Entonces la
competencia va a varios (nótese) supermercados y compra 15 focos para probar
esa afirmación. Los focos de la muestra duran en promedio 290 días con una
desviación estándar de 50 días. Entonces, si quieren desmentir al presidente de
USALUZ necesita saber cuál es la probabilidad que 15 focos seleccionados azar tengan una vida promedio no mayor de 290
no mayor de 290 días
La solución de este tipo de problemas
requiere calcular el valor t basado en los datos y después usar una tabla de
distribución t para encontrar la probabilidad de forma similar a lo que hicimos
con la distribución normal. Existe sin embargo software con el que podemos
evitar el uso de tablas.
Ahora podemos usar una tabla o software como
la T Distribution Calculator (http://stattrek.com/Tables/T.aspx
o minitab.
Usando ésta última seleccionamos "T
score" del menú de “random variable” e introducimos los datos:
- Grados de libertad (ν): 15 - 1 = 14.
- El valor t que obtuvimos= - 0.7745966.
El resultado nos da: 0.2257. Esto significa
que si la verdadera vida de un foco es de 300 días, hay una probabilidad de
22.6% de que la vida promedio de 15 focos seleccionados al azar sea menor o
igual a 290 días y nosotros ha sabríamos a qué atenernos si queremos poner en
ridículo al Presidente o Jefe.
